segunda-feira, 8 de outubro de 2012

077-Reflexões sobre Equações e Método Radical

"Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta."

Universidade de Stanford - Extraído do livro "A Arte de Resolver problemas", de G.Polya
 

1) Considere a seguinte equação quadrática:

[;(x-3)(x-8)=0;]

Pelo que sabemos, a soma das raízes é [;S=x_1+x_2=3+8=11;]. Agora, faremos uma pequena modificação na equação, conforme a seguir:

[;(x-3)(x-8)=5;]

Qual é a soma das raízes da equação modificada?  Acertou quem pensou que é os mesmos [;S=11;]. Isto porque não importa qual seja o valor de [;k;] em [;(x-a)(x-b)=k;],e, mesmo as raízes sendo diferentes na nova equação, a soma das mesmas é sempre [;S=a+b;] pelas relações de Girard. A justificatica é que o [;k;]não modifica o coeficiente de [; x;]:

[;x^2-Sx+(P-k)=0;] 

O mesmo acontece com as equações [;(x-1)(x-2)(x-3)=0;] e [;(x-1)(x-2)(x-3)=px+q;], por exemplo. Daí segue o teorema de tão simples demonstração que quase chega a ser um princípio ( que nem o da casa dos pombos ):

Se [;P(x)=0;] é uma equação polinomial de grau [;n;] e [;G(x);] é um polinômio de grau [;n-2;], então a soma das raízes da equação [;P(x)=G(x);] é a mesma que da equação [;P(x)=0;].


2) Como resolver a equação [;x^2-5x+6=0;] sem usar a fórmula de Bhaskara e sem completar o quadrado? Descreverei aqui um método revolucionário que descobri exatamente na data da postagem.

Vamos supor que a equação admita raízes complexas [;x_1=a+bi;]  e [;x_2=a-bi;].

Soma das raízes [;x_1+x_2=(a+bi)+(a-bi)=2a=5 \Rightarrow a =\frac{5}{2};] 

Produto das raízes: [;x_1x_2=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=6 \Rightarrow \left(\frac{5}{2}\right)^2+b^2=6 \Rightarrow b= \pm \frac{1}{2}i;]

Logo, [;x=a \pm bi=\frac{5}{2} \pm \left(\pm \frac{1}{2}i \right)i;]

Aqui, das duas, uma: ou os sinais são iguais ([;-,- \rightarrow +;] ou [;+,+ \rightarrow +;]) ou desiguais ([;+,- \rightarrow -;] ou [;-,+ \rightarrow -;]), de forma que podemos simplificar

[;x=\frac{5}{2} \pm \left(\frac{1}{2}i \right)i;]

Então temos que [;x_1=a+bi=\frac{5}{2}+\left(\frac{ 1}{2}i \right)i=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2;] e [;x_2=a-bi=\frac{5}{2}-\left(\frac{ 1}{2}i \right)i=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3;]

O segredo da técnica é permitir que o coeficiente da parte imaginária de um número complexo também seja um número complexo.

Como estender esta técnica para equações de grau [;>2;] . Fica como desafio. Enquanto isso tentarei por aqui.

[;\rightarrow;] Advertência: lembro aos leitores mais leigos que quebrei uma base de ensino a respeito da teoria dos números complexos que diz que em [;z=a+bi;], os parâmetros [;a;] e [;b;] são sempre reais. Para fins de estudos, provas e concursos, é claro que esta última afirmação deve prevalecer.



Imagem: http://creajrpr.wordpress.com/2011/01/13/conheca-a-relacao-entre-inovacao-e-empreendedorismo/


5 comentários:

  1. Olá, Aloísio!!!!

    Parabéns, parceiro!!!! Que descoberta você fez aqui!!!! Maravilha de simplicidade de resolução de polinômios com precisão estendida!!!!
    Sabes de uma coisa? Esse seu método radical, seria premiado caso você não tivesse nascido aqui no Brasil!!!!
    Um abraço!!!!!

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  2. Olá Aloísio. Que belo trabalho você fez aqui! Vou testar em outrar equações. Sugiro uma abordagem mais voltada para sala de aula e tente a publicação na Revista do Professor de Matemática, pois eles são meio chatinhos para aceitarem artigos.
    Parabéns!

    Um abraço.

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  3. Oi, parceiros e amigos Valdir e Kleber!!

    Acho que a única coisa inovadora aqui foi o não complemento do quadrado. Fui precipitado em publicar rápido e deixei passar uma melhor análise do segundo ítem da postagem.

    Porque digo isto? Vejam que não é necessário usar números complexos nesta técnica de resolução ( embora dê resultado ). Basta fazer x1=a+b e x2=a-b que as raízes sairão sem recorrer à imaginários.

    Nas cúbicas, eu estava tentando x1=a, x2=b+c e x3=b-c mas sem resultados satisfatórios.

    Valeu, amigos.

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  4. Oi Teixeira! Para a cúbica...Fuçando no UTF e vendo o que você propôs para a cúbica, vislumbrei o seguinte: x1=a+b; x2=aj+bjj; e x3=ajj+bj, onde j é a raiz cúbica complexa de "1" j tem as seguintes propriedades jjj=1 1+j+jj=0 estou escrevendo jj em vez de j^2, nesse caso assumi a hipótese adicional que x1+x2+x3=0 ( podemos transformar qualquer cúbica de tal forma que a soma de suas raízes seja Zero). Calculando x1x2 + x2x3 + x3x1=-3ab e x1x2x3=a^3 + b^3 aí caímos na fórmula de Cardano, calculamos "a" e "b", e daí temos xi. Desculpe a confusão. É só uma primeira aproximação para seu método.

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  5. Oi, Tavano!

    Será meu próximo post!

    Parabéns, eu não teria pensado.

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