Se é a equação geral de uma reta e é um ponto qualquer do plano, então a distância ortogonal de à é dada pela elegante fórmula
Por exemplo, se queremos a saber a distância do ponto à reta gerada pela equação , basta fazer
DEMONSTRAÇÃO
Observem o diagrama. Nosso objetivo é calcular a distância do ponto dado à reta fornecida pela equação .
Utilizaremos, por ser mais prático neste caso, a equação reduzida da reta , com e .
Considere o segmento que intercepta a reta no ponto de coordenadas. Assim,
pois estando na reta dada, suas coordenadas satisfazem a equação .
No triângulo , temos . Mas,
Finalmente, retornando com os valores e chegamos à
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O matemático italiano Joseph Lagrange foi o primeiro a provar que a distância de um ponto ao plano de equação é
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Referência Bibliográfica:
-Matemática-Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, ;
- História da Matemática , Carl B.Boyer, Editora Edgard Blücher LTDA, .
Interessante a abordagem feita para deduzir a distância de um ponto a uma reta, pois envolvem conceitos de geometria analítica e trigonometria. Para complementar o seu post, apresento outra forma de deduzir esta expressão neste link http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2009/08/distancia-de-de-ponto-reta.html
ResponderExcluirOi, Paulo!
ExcluirAchei legal a "prova sem palavras". Já inclui no texto.
Obrigado pela sugestão.
Até mais!
Elegante!
ResponderExcluirEstimas!