domingo, 18 de novembro de 2012

086-Cálculo da Área do Círculo com Integral

A equação do círculo , de centro na origem e raio , gera duas funções cujas representações no plano cartesiano são as seguintes:  para a função temos o semicírculo mostrado no diagrama na parte superior do eixo . Já para a função temos o semicírculo na parte inferior do mesmo eixo. 


Com a intenção de utilizar o Cálculo Integral para calcular a área do círculo, vamos utilizar a primeira função no intervalo . É suficiente, pois a àrea referida é quatro vezes a área sob esta curva no quadrante . Logo,

Fazendo,

 
 
 

temos,

Mas, e, substituindo, vem

 
Logo, o valor da nossa integral definida é


  
É claro que também poderíamos chegar a este resultado usando a variável , no lugar de , pelo menos na última etapa. Observem que 




E revertendo a transformação, temos

 
 


Logo,

11 comentários:

  1. Mais uma postagem de qualidade...Complementa o cálculo do comprimento da circunferência.
    Neste caso existe outras saídas também interessantes.Vou citar uma:

    Se tomarmos o vetor de incremento linear do cilindro em função dos parâmetros (ρ,φ,z), temos:
    dL= dρ ρ + ρdφ φ+ dz z
    A área lateral é dada fazendo ρ=r=cte,0≤φ≤2π, e 0≤z≤h onde não há incremento dρ (Óbvio, apenas duas dimensões podem variar para o cálculo de áreas):

    S(lateral)=∫ρdφ∫dz=r[φ][z]=2πrh

    E a área do topo (S(topo)) e a área da base (S(base)) é dada por 0≤φ≤2π e 0≤ρ≤r, sem considerar o incremento em z.Isto é dz=0.

    S(base)=S(topo)=∫dρ∫ρdφ=[ρ²/2][φ]=πr²

    Daí se pode calcular a seção meridiana do cilindo (fazendo φ=cte).Enfim,também é uma boa solução.
    Abraços, Aloisio.

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  2. Oi, Diogo!

    Se puder enviar por e-mail (teixeira.aloisio@gmail.com) um artigo de sua autoria com esta abordagem do cálculo da área do círculo, teria prazer em publicar, com sua autorização.

    Caso aceite, sugiro que use o gerador de fórmulas http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php. Copie e cole as fórmulas direto no e-mail.

    Valeu, obrigado!

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  3. Olá novamente,Aloisio.
    Então,seria um prazer contribuir...Vou escrever utlizando este gerador de fórmulas e lhe enviar, ficando a seu critério toda e qualquer modificação.

    Abraços.

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  4. Olá Aloísio,

    Que bom que resolveu fazer esta publicação. Muito bacana mesmo. Ficou muito bem explicado e mais uma ótima referência na net.

    Aqui tem uma demonstração por limites:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/08/demonstracao-da-area-do-circulo.html

    Abraços.

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  5. Kleber!

    Obrigado! Já referenciei seu interessante artigo.

    Valeu!

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  6. Olá Aloísio. Parabéns pela postagem. Na parte inicial, quando você mudou a variável, foi uma ótima sacada alterar os limites de integração para não ter que voltar pro x... simplificou bastante as coisas! Obrigado por citar o BLOG MANTHANO.
    Abraço.
    Pedro R.

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  7. Oi, Pedro!

    Obrigado!

    Mas acho que a maneira mais inteligente de usar a integral para a área do Círculo é o processo de somar infinitas coroas circulares e concêntricas. Se a largura de cada coroa tender a zero, então o comprimento do círculo MENOR é tenderá ao comprimento do círculo MAIOR. Daí temos um "cilindro" de comprimento 2(pi)w (onde w vai do centro à junção dos círculos maior e menor ) e largura dr. Assim, a área deste cilindro é dA=2(pi)w.dr. Logo, dA/dr=2(pi)w. Integrando, obtemos A=(pi)w^2. Taí a explicação porque 2(pi)R é a derivada de (pi)R^2...

    Valeu!

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  8. Este comentário foi removido pelo autor.

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  9. Concordo com o Aloísio... somar a área das coroas torna tudo muuuito mais fácil. Só não entendi pq ele usou o termo "cilindro" ao se referir à área de cada coroa. Uma outra forma de explicar seria:

    Quando a largura das coroas tendem a zero (dr) elas se tornam anéis, suas áreas se tornam a circunferência dos anéis (2pi*r), e a soma se torna uma integral definida: S[0-R] 2pi*r dr

    S[0-R] 2pi*r dr
    2pi S[0-R] r dr
    2pi [0-R][r^/2]
    2pi*r^2/2
    pi*r^2

    E em 5 linhas resolve-se o problema, sem nenhuma mudança de coordenada nem relacao trigonométrica.

    Achei um vídeo com essa solução: http://www.youtube.com/watch?v=la6x5YLucmw

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  10. x=rsen(teta)? Não seria x=rcos(teta) na substituição?

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  11. Faltou as passagens em que são substituídas por identidades trigonométricas. Quem não conhece talvez não consiga visualizar. No mais parabéns.

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