sábado, 31 de janeiro de 2015

123 - Ovais Cartesianas Simétricas ao Eixo Ox

Colocaremos, em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas, as curvas geradas pela função e pela relação , com o objetivo de visualizar os tipos de transformações que a curva de goza sob um radical, conforme .

Podemos, desde já, constatar o seguinte.

1) O domínio da relação são todos os valores de , onde . Na prática, relativo ao esboço de , desprezamos os ramos da curva de , onde

2) Tendo em vista que ou , a curva de é simétrica em relação ao eixo .

3) Como para e para , temos que:

I - Os módulos das ordenadas de são maiores ou iguais que os módulos das ordenadas de para e;

II - Os módulos das ordenadas de são menores que os módulos das ordenadas de para .

Nos exemplos gráficos, as curvas de  estarão na cor negra e as curvas de na cor vermelha.
     
Podemos,então, comprovar os itens 1), 2) e 3)  no exemplo elementar onde e , conforme o gráfico duplo a seguir.


Em alguns casos, é verificado uma simetria também com o eixo , desde que já possua este tipo de simetria. Por exemplo,  e


 Informalmente falando, a raiz quadrada desta parábola é uma hipérbole.

Observem que se invertemos os sinais do segundo membro da equação anterior da parábola, ou seja , .  A curva é uma conhecida figura.

"A raiz quadrada desta parábola é um círculo."

Entramos em um terreno interessante. O aspecto gráfico fechado ( círculo, elipse, ovais) aparece na curva de toda vez em que um ponto máximo se encontra entre duas raízes de  .

Exemplos. Dado , o gráfico de é um círculo para e uma elipse para . Vejam os exemplos para e .





Sairemos da dimensão das figuras fechadas mais conhecidas. Vejam que a curva vermelha de apresenta dois ramos, sendo um de aspecto oval,



enquanto a curva de apresenta duas ovais.


Uma curva bastante exótica, que apresentei e analisei no post 107 é gerada pela equação , explicitamente expressa por , ou seja, a função do radicando é ( em negrito, no gráfico a seguir ).


A relação transcendente interessante e mais básica, cujo gráfico apresenta ovais, é  .



Por outro lado, até uma relação formada por uma função descontínua como pode produzir ovais. É o caso de  .



Geralmente, os módulos das ordenadas das funções exponenciais tem um ímpeto de crescer  "agressivamente" para o infinito. Mas essa "ânsia" pode ser contida numa curva fechada por intermédio da relação .


Para finalizar, um exemplo feito no programa online Wolfran Alpha.




 





10 comentários:

  1. Prezado Aloisio, é uma grande alegria vê-lo postar novamente.
    Muito bom.

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  2. Não consigo ver os símbolos em alguns posts anteriores. Como esse: http://elementosdeteixeira.blogspot.com.br/2012/06/equacao-de-congruencia-polinomial.html?showComment=1422845520637#c120495984560357748

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  3. É interessante que os leitores anônimos se identifiquem. Fica descortês o anonimato. Principalmente se não dar para saber se é o mesmo leitor da primeira mensagem que já solicitei a identificação.

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  4. Sou o Alvin. Você fez uma postagem no grupo F.M do facebook, tentei te marcar, mas a marcação não aconteceu. Navegando pelo blog, me interessei por uns posts mais antigos mas os símbolos não estavam aparecendo. Não sou o primeiro anônimo, sou o segundo.

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  5. Oi, Alvin.

    Comecei a ter alguns problemas técnicos com o LATEX, relativo as fórmulas, das publicações de número 02 a 78. É muita coisa para eu corrigir, ainda não me planejei em realizar essa correção. São muitos artigos. Veja que de 079 a 123 está ok.

    Obrigado pela visita,

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  6. Tudo bem, mas corrija mesmo, rs. Os artigos são muito bem escritos, ainda não pude ler muita coisa mas o pouco que li deu uma grande ampliada na minha visão em determinados assuntos. Boa sorte.

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  7. Olá Aloísio. Muito bom o post. Digno de um encaminhamento para a RPM, mas fiquei curioso quanto a afirmação acima relacionando o ponto de máximo com a curva fechada. Abraços.

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  8. Olá Aloísio. Muito bom o post. Digno de um encaminhamento para a RPM, mas fiquei curioso quanto a afirmação acima relacionando o ponto de máximo com a curva fechada. Abraços.

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    1. Paulo, a curva fechada esta relacionada com pontos máximos porque não existe raiz quadrada relacionada com ramos de curva abaixo do eixo Ox ( ramos negativos - pontos mínimos ).

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