ELEMENTOS: 003-Integral Natural e Somatórios

DEDICATÓRIA

Dedico este post à União dos Blogs de Matemática (UBM) — http://ubmatematica.blogspot.com — da qual agora sou filiado. Uma iniciativa dos professores Paulo Sérgio e Kleber Kilhian, a UBM prima pela excelência e seriedade, levando aos amantes da matemática uma riqueza de conhecimentos condensados.

Eu diria que, se a UBM tivesse um patrono, sem dúvidas seria o frade Minimita Marin Mersenne (1588–1648), um grande difusor de matemática de sua época.

INTEGRAL NATURAL E SOMATÓRIOS

O método de soma exposto a seguir foi desenvolvido por mim em 1988, quando tinha 16 anos. Somente há poucos anos vi algo parecido no livro “Manual de Sequências e Séries — Volume I” (Rio de Janeiro, 2005), de Luís Lopes, publicado pela Editora QED TEXTE, onde o autor chama a operação f(n+1) − f(n) de diferença finita.

No artigo anterior, vimos o conceito de derivada natural aplicável a uma sequência qualquer.

Se temos uma sequência $\mathbb{N}^*→\mathbb{R}$ definida por $a_n=f(n)$ , sua derivada N será definida por:

$f₁(n)=f(n+1)-f(n)$

Em contrapartida, se acharmos uma função $F(n)$ tal que $F₁(n)=F(n+1)-F(n)=f(n)$ , então $F(n)$ é a integral natural ou integral N de $f(n)$ . Simbolizamos por $⟧⟦f(n)$ :

$⟧⟦f(n)=F(n), F(n+1)-F(n)=f(n)$

A variação de $⟧⟦f(n)$ nos limites $n=a$ e $n=b$ , onde $a<b$ e a, b são inteiros positivos, será representada por:

$⟧⟦ₐᵇ f(n)=[F(n)]ₐᵇ=F(b)-F(a)$

Como a integral N limitada $Integral N limitada$ se relaciona com o somatório $Somatório f(i)$ ? É o que veremos a seguir.

TEOREMA:
$Teorema$

Demonstração: Se existir uma sequência definida por $F(n)$ tal que $f(n)=F(n+1)-F(n)$ , então poderemos somar os termos $f(i)$ de $i=1$ a $i=n$ como se segue:

$Soma de f(i)$
$F(n+1)-F(1)$

Já que todas as parcelas se anulam com exceção da primeira e da última.

Por definição, $F(n)=Integral$ e, portanto, $Resultado final$ .

Aplicação 1: Achar a soma de uma progressão geométrica de termo genérico $a_n=a1q^(n-1)$ , sendo a razão $q diferente de 1$ .

Solução: multiplicando $a_n$ por $(q-1)/(q-1)$ obtemos:

$a_n fórmula expandida$

Veja que $a_n$ fica no formato $F(n+1)-F(n)$ com $F(n)=a1q^(n-1)/(q-1)$ .

Portanto:

$equação$ $equação$ $equação$

Aplicação 2: Achar a soma dos n primeiros termos da sequência definida por:

$equação$ com $equação$

Solução: Observem que $equação$ é um polinômio de grau $equação$ . Para facilitar a soma, colocamos o termo genérico no formato:

$equação$

E isso já aprendemos no post anterior: Progressão Aritmética de Ordem Superior .

Aprendemos também que a derivada natural $equação$ de $equação$ é:

$equação$

Assim, por indução inversa, concluímos que:

$equação$

Logo:

$equação$

Assim, $equação$ .

$=nA_0 + n(n-1)\frac{A1}{2!} + ...+n(n-1)(n-g)\frac{A_g}{(g+1)}!$

Exemplo. Suponha que $p(n)=n^4-5n^3+n-8$ . Pelo triângulo das variações (ver post anterior) achamos rapidamente os coeficientes $A_i$ . Se o grau da função polinomial é $g=4$ , calculamos os $g+1=5$ primeiros termos desta função:

$p(1)=-11$ $p(2)=-30$ $p(3)=-59$ $p(4)=-68$ $p(5)=-3$

-11   -30   -59   -68   -3
-19   -29   -9   65
-10   20   74
30   54
24

Pegamos, então, os coeficientes $A_i$ na diagonal da esquerda:

$A_0=-11$ $A_1=-19$ $A_2=-10$ $A_3=30$ $A_4=24$

Portanto:

$\sum_{i=1}^n \left(i^4-5i^3+i-8\right)=$
$n(-11)+n(n-1)\frac{-19}{2!}+n(n-1)(n-2)\frac{-10}{3!}+n(n-1)(n-2)(n-3)\frac{30}{4!}+n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)\frac{24}{5!}$

Ou, se preferirem, usando a notação de combinação, temos:

$\sum_{i=1}^n \left(i^4-5i^3+i-8\right)=$
$-11\binom{n}{1}-19\binom{n}{2}-10\binom{n}{3}+30\binom{n}{4}+24\binom{n}{5}$

Em um futuro post, mostrarei como achar a soma dos $n$ primeiros termos de $a_n=sen(n)$ usando a integral N. N.E: Veja também em Somatórios Trigonométricos.

6 comentários:

Prof. Paulo Sérgio26 de junho de 2012 às 11:38
Interessante este post. Ao invés do gama maiúsculo, eu uso delta maiúsculo elevado a menos um.
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Anônimo26 de junho de 2012 às 14:32
Eu também.

Excelente Post.
Você já ouviu falar em Time Scales (escalas temporais)? É uma teoria recente que unifica o calculo contínuo e o discreto. A teoria tem uns 20 ou 30 anos.
É bastante interessante e até que simples (relativamente simples, tem coisa mais difícil), além de estar dando artigos interessantes (li alguns).
Obrigado pelo post, sempre adorei esse assunto.
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Aloisio Teixeira26 de junho de 2012 às 15:10
Oi, Hugo, nunca ouvi falar. Tem alguns links?
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Anônimo27 de junho de 2012 às 10:01
Na parte de notas e referências do wikipedia tem alguns artigos.

http://en.wikipedia.org/wiki/Time_scale_calculus

Um site sobre o assunto

http://www.timescales.org/

Esse artigo é bem legal:

http://web.mst.edu/~bohner/papers/deotsas.pdf

E um livro, que fala sobre hiperreais também, é legal (não terminei de ler ainda):

http://mds.marshall.edu/etd/36/

Em portugues temos:

http://prope.unesp.br/xxii_cic/ver_resumo.php?area=100046&subarea=13058&congresso=30&CPF=38179586847

http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxiii_cnmac/pdf/563.pdf

Até +.
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quarta-feira, 11 de janeiro de 2012

003-Integral Natural e Somatórios

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V.O